одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление).

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x) одного действительного переменного - функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f (x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции f (x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

функции f (x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x) действительного переменного имеет неопределённый И.

Определённый интеграл. Определённый И. функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность

где F(x) есть первообразная функции f (x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f (x) непрерывна, то приведённое определение в случае a < b равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a, b] точками

в каждом отрезке [x_i-1, x_i] (i = 1, 2,..., n) берут произвольную точку ξ_i (x_i-1 ≤ ξ_i ≤ x_i) и образуют сумму

Сумма S_n зависит от выбора точек x_i и ξ_i. Однако в случае непрерывной функции f (x) суммы S_n, получающиеся при различном выборе точек x_i и ξ_i, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей x_i - x_i-1 стремится к нулю при n → ∞. Этот предел и является определённым интегралом

По определению,

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде

где а - произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление.

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

предел сумм S_n при max(x_i - x_i-1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f (x) на [a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f (x) ограничена на [а, b], множество помещающихся на [a, b] точек разрыва функции f (x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F(x) не обязана иметь подинтегральную функцию f (x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f (x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

где M_k - верхняя грань функции f (x) на отрезке [x_k-1,x_k], а m_k - нижняя грань f (x) на том же отрезке. Если I̅ нижняя грань сумм , а l̲ - верхняя грань сумм , то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие Общее значение величин l̲ и I̅ и является интегралом Римана (6). Сами величины I̅ и l̲ называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

... < y_-2 < y_-1 < y₀ < y_-1 < ... < y_i <...

область возможных значений переменного у = f (x) и обозначает M_i множество тех точек х из отрезка [a, b], для которых

y_i-1 ≤ f (x) < y_i.

Сумма S определяется равенством S = Σ_i η_i μ(M_i),

где η_i берётся из отрезка y_i-1 ≤ η_i < y_i, а μ(M_i) обозначает меру множества M_i. Функция f (x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a, b], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при max(y_i - y_i-1) → 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(x), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f (x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций (См. Измеримые функции) в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов (См. Несобственные интегралы).

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера - Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

для которого

представляет функцию f (x), порождающую коэффициенты a_n и b_n по формулам

где И. понимаются в смысле Лебега.

Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f (x) - непрерывная функция действительного переменного х, определённая на отрезке [a, b], и U(x) - определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a, b] и составляют сумму

f (ξ₁) [U(x₁) - U(x₀)] + f (ξ₂) [U(x₂) - U(x₁)] +...+ f (ξ_n) [U(x_n) - U(x_n-1)], (8)

где ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n - произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x₀, x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n-1, x_n]. Пусть δ - наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой δ стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f (x) относительно функции U(x) и обозначают символом

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U(x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U₁(x) и U₂(x):

U(x) = U₁(x) - U₂(x),

т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции).

Если интегрирующая функция U(х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, когда U(x) = х + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х - пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых "измеримыми", причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть μ - конечная мера, заданная на В. Для В-измеримой функции у = f (x), х∈Х, принимающей конечное или счётное число значений y₁, y₂, ..., y_n, ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A₁, ..., А_n, ..., сумма которых есть X, интеграл функции f (x) по мере μ, обозначаемый

,

определяется как сумма ряда

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

Пусть А - измеримое множество и φ_А(х) = 1 для х, принадлежащих А, и φ_А(х) = 0 для х, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f (x) по множеству А определяют, полагая

При фиксированных μ и А И. в зависимости от f может рассматриваться как Линейный функционал; при фиксированном f И., как функция множества А, есть счётно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f (x), неограниченной в точке х = с, определил интеграл

,

когда a < c < b, как предел выражения

,

при ε₁ → 0 и ε₂ → 0. Аналогично И. с бесконечными пределами

определяется как предел И.

,

при а → - ∞ и b → + ∞. Если при этом не требуется интегрируемости |f (x)|, т. е. f (x) интегрируема "не абсолютно", то это определение Коши не поглощается лебеговским.

Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. - Hdlb. - N. Y., 1969.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.